Vecteur vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes

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Soit la base cartésienne $(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e_z})$

Lorsque $M$ se déplace, $H_x$ se déplace; on peut associer à $H_x$ une vitesse :

vitesse moyenne :

$v_{x_m}=\dfrac{\mathrm{distance}}{\mathrm{temps}}=\dfrac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{t+\Delta t-t}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$

vitesse instantanée :

$v_x=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{dx}{dt}$

où

$dx=x(t+dt)-x(t)=v_xdt$

est la variation élémentaire de $x$ quand $t$ varie de $dt$

Les vitesses s'expriment en $m.s^{-1}$

Remarque : $\dfrac{dx}{dt}$ n'est pas seulement une écriture voulant dire je dérive la fonction $x(t)$ par rapport au temps $t$ , c'est bien un rapport $\dfrac{x(t+dt)-x(t)}{t+dt-t}$

De même $v_y=\dfrac{dy}{dt}$ est la vitesse de $Hy$ et $v_z=\dfrac{dz}{dt}$ est la vitesse de $I$

$v_x,\ v_y\ \mathrm{et}\ v_z$ définissent alors le vecteur vitesse :

$\boxed{\vec{v}=v_x\vec{e}_x+v_y\vec{e}_y+v_z\vec{e}_z}$

On utilise aussi la notation $\dfrac{dx}{dt}=\dot{x}$ :

$\boxed{\vec{v}=\dot{x}\vec{e}_x+\dot{y}\vec{e}_y+\dot{z}\vec{e}_z}$

$\vec{v}=\dfrac{dx}{dt}\vec{e}_x+\dfrac{dy}{dt}\vec{e}_y+\dfrac{dz}{dt}\vec{e}_z=\dfrac{d}{dt}(x\vec{e}_x)+\dfrac{d}{dt}(y\vec{e}_y)+\dfrac{d}{dt}(z\vec{e}_z)=\dfrac{d}{dt}(x\vec{e}_x+y\vec{e}_y+z\vec{e}_z)$