Tribu d'événements

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A toute expérience aléatoire, on associe l'ensemble \Omega de tous les résultats possibles, appelé univers.

Une tribu \mathcal{A} de \Omega est un ensemble de parties de \Omega qui contient \Omega, qui est stable par passage au complémentaire et par réunion finie ou dénombrable :

  • \Omega\in\mathcal{A}.
  • \forall B\in\mathcal{A} \overline{B}\in\mathcal{A}.
  • Pour toute partie non vide I de \mathbb{N} et toute famille (B_{i})_{i\in\mathit{I}} d'éléments de \mathcal{A} : \bigcup_{i\in I} B_i \in\mathcal{A}.

Les éléments de \mathcal{A} sont appelés des événements.

Le couple (\Omega,\mathcal A) est un espace probabilisable.

La tribu engendrée par un ensemble de parties de \Omega est la plus petite tribu contenant cet ensemble.

Exemples :

  • \mathcal{A}=\lbrace\O,\Omega\rbrace.
  • \mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega).
  • \mathcal{A}=\lbrace\O,B,\overline{B},\Omega\rbrace si B est une partie non vide de \Omega. C'est la tribu engendrée par \lbrace B\rbrace.

Propriétés :

  • Toute tribu contient \O.
  • Toute tribu est stable par intersection finie ou dénombrable : pour toute partie non vide I de \mathtbb{N} et toute famille (B_{i})_{i\in\mathit{I}} d'éléments de \mathcal{A} : \bigcap_{i\in I} B_i \in\mathcal{A}.
  • L'intersection d'une famille finie ou dénombrable de tribus de \Omega est une tribu de \Omega.

--CatherineLaidebeure 25 mars 2008 à 12:22 (CET)

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