Régime libre du circuit RLC

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Equation différentielle

$(1)\quad u=Ri+L\dfrac{di}{dt}$

avec $u=\dfrac{q}{C}$ et $i=-\dfrac{dq}{dt}$ donne

$\dfrac{q}{C}=-R\dfrac{dq}{dt}-L\dfrac{d^2q}{dt^2}$ soit

$(2)\quad \dfrac{d^2q}{dt^2}+\dfrac{R}{L}\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{1}{LC}q=0$

Avec $q=Cu$ , (2) donne

$\dfrac{d^2u}{dt^2}+\dfrac{R}{L}\dfrac{du}{dt}+\dfrac{1}{LC}u=0$

En dérivant (1) et en utilisant $u=\dfrac{q}{C}$ et $i=-\dfrac{dq}{dt}$ , on obtient

$\dfrac{d^2i}{dt^2}+\dfrac{R}{L}\dfrac{di}{dt}+\dfrac{1}{LC}i=0$

Différents régimes

régime	$\dfrac{d^2u}{dt^2}+2\alpha\dfrac{du}{dt}+\omega_0^2u=0$ $2\alpha=\dfrac{R}{L}$ , $\omega_0^2=\dfrac{1}{LC}$ et $Q=\dfrac{\omega_0}{2\alpha}$
$Q>\dfrac{1}{2}$ pseudo-périodique	$u=\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t))$ $\Omega^2=\omega_0^2-\alpha^2$
$Q<\dfrac{1}{2}$ apériodique	$u=\mathrm{e}^{-\alpha t}(A'\mathrm{e}^{\Omega' t}+B'\mathrm{e}^{-\Omega' t})$ $\Omega'^2=\alpha^2-\omega_0^2$
$Q=\dfrac{1}{2}$ critique	$u=\mathrm{e}^{-\omega_0 t}(A''t+B'')$

$Q$ s'appelle le facteur de qualité.

On détermine les constantes grâce aux conditions initiales en utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur et la continuité de l'intensité du courant dans la bobine.

Pour le régime pseudo-périodique :

La pseudo-période est égale à

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}}=\dfrac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}}$

Etude énergétique

En multipliant (1) par $i$ , on obtient

$ui=Ri^2+L\dfrac{di}{dt}i$

comme $i=-\dfrac{dq}{dt}$ et $q=Cu$ , on a

$-Cu\dfrac{du}{dt}=Ri^2+L\dfrac{di}{dt}i$

$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}Cu^2+\dfrac{1}{2}Li^2\right)=-Ri^2$

L'énergie emmagasinée dans le condensateur et la bobine à un instant $t$ , $W(t)=\dfrac{1}{2}Cu^2+\dfrac{1}{2}Li^2$ , diminue au cours du temps, elle est dissipée par effet Joule dans la résistance.