Régime libre du circuit RL

Evolution de l'intensité du courant

En régime continu, la bobine se comporte comme un interrupteur fermé $U=0$ et $I=E/R$

A $t=0$ , on supprime $E$ :

$u=L\dfrac{di}{dt}=-Ri$

$\dfrac{di}{dt}+\dfrac{i}{\tau}=0\quad\mathrm{avec}\quad\tau=L/R$

La solution est de la forme $i(t)=A\exp(-t/\tau)$

$i(0)=A=E/R$ par continuité de l'intensité du courant dans la bobine.

Finalement $\boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}\exp(-t/\tau)}$

$u=L\dfrac{di}{dt}$ , ce qui donne

$\boxed{u(t)=-E\exp(-t/\tau)}$

La bobine assure la continuité de l'intensité du courant qui la traverse mais pas celle de la tension à ses bornes.

Calculons l'énergie reçue (on est en convention générateur pour la résistance) et dissipée par effet Joule dans la résistance :

$W=\int\mathcal{P}dt=\int -uidt=\dfrac{E^2}{R}\int_0^\infty \exp(-2t/\tau)dt=\dfrac{E^2}{R}\left[\dfrac{\exp(-2t/\tau)}{-2/\tau}\right]_0^\infty$

$W=\dfrac{1}{2}\dfrac{E^2}{R}\dfrac{L}{R}=\dfrac{1}{2}LI^2$ énergie emmagasinée dans la bobine.

--DamienDecout 25 décembre 2007 à 07:50 (CET)