Puissance, travail et énergie cinétique

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Sommaire

1 Définitions
2 Théorème de la puissance cinétique
3 Théorème de l'énergie cinétique
4 L'énergie cinétique se conserve-t'elle ?

Définitions

Multiplions scalairement la deuxième loi de Newton par $\vec{v}$ :

$m\vec{a}.\vec{v}=\vec{F}.\vec{v}$

$\vec{a}.\vec{v}=\dfrac{dv_x}{dt}v_x+\dfrac{dv_y}{dt}v_y+\dfrac{dv_z}{dt}v_z=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_x^2}{2}\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_y^2}{2}\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_z^2}{2}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v^2}{2}\right)$

donc

$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}mv^2\right)=\vec{F}.\vec{v}$

ou encore

$d\left(\dfrac{1}{2}mv^2\right)=\vec{F}.\vec{v}dt=\vec{F}.d\vec{OM}$

$\boxed{\mathcal{P}=\vec{F}.\vec{v}}$

est la puissance de la résultante des forces $\vec{F}$ qui s'exercent sur M où $\vec{v}$ est la vitesse de M

$\boxed{\delta W=\vec{F}.d\vec{OM}=\vec{F}.\vec{v}dt=\mathcal{P}(t)dt}$

est le travail élémentaire de la résultante des forces $\vec{F}$ qui s'exercent sur M où $d\vec{OM}$ est le déplacement élémentaire de M

Le travail $W$ entre deux instants $t_1$ et $t_2$ s'écrit

$\boxed{W=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{P}(t)dt=\int_{M_1}^{M_2}\vec{F}.d\vec{OM}}$

$\boxed{E_c=\dfrac{1}{2}mv^2}$

est l'énergie cinétique de M où $m$ est la masse de M et $\vec{v}$ sa vitesse

Théorème de la puissance cinétique

D'après ce qui précède, on a

$\boxed{\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}}$

Dans un référentiel galiléen, la puissance de la résultante des forces exercées sur M est égale à la dérivée par rapport au temps de son énergie cinétique

Théorème de l'énergie cinétique

Toujours d'après ce qui précède, on a

$dE_c=\delta W$

qui constitue la forme différentielle du théorème de l'énergie cinétique. En intégrant entre deux instants $t_1$ et $t_2$

$\boxed{\Delta E_c=E_c(t_2)-E_c(t_1)=W=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{P}(t)dt=\int_{M_1}^{M_2}\vec{F}.d\vec{OM}}$

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique de M entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale au travail de la résultante des forces qui s'exercent sur M entre ces deux instants

Attention : en général $W\not=W(t_2)-W(t_1)$

L'énergie cinétique se conserve-t'elle ?

$\vec{F}=0$

(point isolé ou pseudo-isolé) alors

$\mathcal{P}=0\quad \mathrm{et}\quad E_c=cte$

Contrairement à la conservation de la quantité de mouvement qui reste valable pour les systèmes, la conservation de l'énergie cinétique n'est valable que pour le point; celle-ci est par exemple mise en défaut sur l'exemple du système canon-projectile

Nous verrons que pour un système, le théorème de la puissance cinétique s'écrit

$\dfrac{dE_c}{dt}=\mathcal{P}_{int}+\mathcal{P}_{ext}$