Probabilité

Un article de Wikiprépas.

On appelle probabilité sur un espace probabilisable (\Omega,\mathcal A) toute application P de \mathcal A dans \mathbb{R}^+ qui vérifie :

  • P(\Omega )=1.
  • Quels que soient les événements B_1 et B_2 incompatibles (B_1 \cap B_2 =\O) : P(B_1 \cup B_2)=P(B_1)+P(B_2).
  • Pour toute famille (B_{n})_{n\in\mathbb{N}^*} d'événements deux à deux incompatibles, la série \sum P(B_{n}) est convergente et P(\bigcup_{n=1}^{+\infty}B_n)=\sum_{n=1}^{+\infty}P(B_{n}).

Lorsque l'univers \Omega est fini, les deux premiers axiomes suffisent.

Propriétés :

  • \forall B\in\mathcal A 0\leqslant P(B)\leqslant 1.
  • P(\O )=0.
  • \forall B\in\mathcal A P(\overline{B})=1-P(B).
  • Quels que soient les événements B_1 et B_2  : P(B_1 \cup B_2)=P(B_1)+P(B_2)-P(B_1 \cap B_2).
  • Formule du crible ou de Poincaré :

Pour toute famille (B_1,...,B_n) d'événements : P(\bigcup_{i=1}^{i=n}B_i)=\sum_{k=1}^{k=n}(-1)^{k-1}\sum_{1 \leqslant i_1 < ... < i_k \leqslant n}P(B_{i_1} \cap ... \cap B_{i_k}).

--CatherineLaidebeure 27 août 2008 à 08:49 (CEST)

Récupérée de « http://www.wikiprepas.org/index.php/Probabilit%C3%A9 »