Oscillateur harmonique - Oscillations libres amorties

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Sommaire

1 Temps de relaxation - Facteur de qualité
2 Régime pseudo-périodique
3 Régime apériodique
4 Régime critique
5 Etude énergétique

Temps de relaxation - Facteur de qualité

Avec amortissement, l'équation différentielle régissant l'évolution au cours du temps de l'oscillateur harmonique, devient

$m\ddot{x}=-kx-h\dot{x}$

que l'on met sous la forme

$\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega_0^2 x=0$

avec $2\alpha=\dfrac{h}{m}$ et $\omega_0^2=\dfrac{k}{m}$ , ou encore

$\ddot{x}+\dfrac{\dot{x}}{\tau}+\omega_0^2 x=0$

où $\tau$ est une constante ayant la dimension d'un temps qui est appelée temps de relaxation de l'oscillateur, $\omega_0$ étant sa pulsation propre.

Pour décrire l'oscillateur amorti, on peut préférer au couple $(\omega_0,\tau)$ le couple $(\omega_0,Q)$ , $Q$ étant un paramètre sans dimension appelé facteur de qualité défini par

$Q=\omega_0\tau=2\pi\dfrac{\tau}{T_0}=\dfrac{\omega_0}{2\alpha}=\dfrac{m\omega_0}{h}$

Une solution en $\exp(rt)$ existe si

$r^2+2\alpha r+\omega_0^2=0$

Suivant le signe du discriminant réduit $\Delta'=\alpha^2-\omega_0^2$ , plusieurs régimes sont possibles

Régime pseudo-périodique

Si les frottements sont faibles alors

$\alpha<\omega_0,\quad Q>\dfrac{1}{2}\quad \mathrm{et}\quad \Delta'<0$

La solution est de la forme

$x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)$

en introduisant la pseudo-pulsation $\Omega$ telle que

$\Omega^2=\omega_0^2-\alpha^2\ (\Delta'=-\Omega^2=(i\Omega)^2\ \mathrm{et}\ r=-\alpha\pm i\Omega)$

$\dot{x}=-\alpha\mathrm{e}^{-\alpha t}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)+\mathrm{e}^{-\alpha t}\Omega(-A\sin\Omega t+B\cos\Omega t)$

$\left\lbrace \begin{array}{l} x(0)=A=x_0\\ \dot{x}(0)=-\alpha A+\Omega B=v_0 \end{array} \right.$

$\boxed{x(t)=\mathrm{e}^{-\alpha t}(x_0\cos\Omega t+\dfrac{v_0+\alpha x_0}{\Omega}\sin\Omega t)}$

Une telle évolution de retour vers un état permanent est qualifiée de relaxation; ce retour se fait au bout de quelques $\tau$

$T=\dfrac{2\pi}{\Omega}=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\alpha}{\omega_0}\right)^2}}=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}}$

est la pseudo-période

La détermination expérimentale de $\delta=\ln\left(\dfrac{x(t)}{x(t+T)}\right)$ appelé décrément logarithmique permet de calculer le facteur de qualité :