Miroirs sphériques

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Sommaire

Miroir concave (convergent) ou convexe (divergent)

  • Miroir concave :

Image:miroir_concave.png

  • Miroir convexe :

Image:miroir_convexe.png



Stigmatisme approché dans les conditions de Gauss

Image:relation_conjugaison.png

$$i=\beta-\alpha=\alpha'-\beta\Rightarrow \alpha+\alpha'=2\beta$$


Dans les conditions de Gauss où les rayons sont proches de l'axe et peu inclinés par rapport à l'axe :

$$\alpha\simeq-\dfrac{\overline{HI}}{\overline{SA}}\quad\alpha'\simeq-\dfrac{\overline{HI}}{\overline{SA'}}\quad\beta\simeq-\dfrac{\overline{HI}}{\overline{SC}}$$

d'où la relation de conjugaison (indépendante du rayon considéré) :

$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{SA}}+\dfrac{1}{\overline{SA'}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}}$$


On parle alors de stigmatisme approché

$$A\xrightarrow{miroir\ spherique} A'$$

On dit que A' est le conjugué de A ou encore que A et A' sont conjugués.



Points particuliers - Distance focale - Vergence

  • Si $A=C$ alors $A'=C$

$$C\xrightarrow{miroir\ spherique} C$$


  • Si $A=A_\infty$ alors $A'=F'$

$$A_\infty\xrightarrow{miroir\ spherique} F'$$

$F'$ foyer image tel que

$$\boxed{\overline{SF'}=\dfrac{\overline{SC}}{2}=f'=\dfrac{1}{V}}$$

$f'$ distance focale image et $V$ vergence


  • Si $A'=A_\infty'$ alors $A=F$

$$F\xrightarrow{miroir\ spherique} A'_\infty$$

$F$ foyer objet tel que

$$\boxed{\overline{SF}=\dfrac{\overline{SC}}{2}=f}$$

$f$ distance focale objet


Un rayon parallèle à l'axe optique (issu d'un point à l'infini sur l'axe) est réfléchi en passant par F'.

Un rayon passant par F est réfléchi parallèlement à l'axe optique (« convergeant » vers un point à l'infini sur l'axe).



Aplanétisme approché dans les conditions de Gauss - Plan focal

Expériences et Simulations permettent de conclure que le miroir sphérique vérifie le stigmatisme et l'aplanétisme dans les conditions de Gauss.


$$A\xrightarrow{miroir\ spherique} A'$$

$$B\xrightarrow{miroir\ spherique} B'$$


$B'$ est dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par $A'$.


De même

$$A_\infty\xrightarrow{miroir\ spherique} F'$$

$$B_\infty\xrightarrow{miroir\ spherique} $$

le conjugué de $B_\infty$ est dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par F' appelé plan focal.



Modélisation du miroir sphérique et constructions géométriques

Modélisation

Cette modélisation concerne le miroir sphérique utilisé dans les conditions de Gauss.

On dilate les schémas perpendiculairement à l'axe optique.

  • Miroir concave :

Image:modelisation_concave.png

  • Miroir convexe :

Image:modelisation_convexe.png

Attention, les lois de la réflexion ne sont plus vérifiées sur le schéma (sauf en S) !


Construction de l'image A' d'un point A sur l'axe

$$A\rightarrow B\xrightarrow{stigmatisme} B'\xrightarrow{aplanetisme} A'$$

L'image d'un point étant un point, deux rayons suffisent pour trouver B' à choisir parmi les 3 rayons remarquables suivants :

  • Le rayon parallèle à l'axe (issu d'un point à l'infini sur l'axe) et passant par B est réfléchi en passant par F';
  • Le rayon passant par B et par F est réfléchi parallèlement à l'axe;
  • Le rayon passant par B et par C est réfléchi en repassant par C.

Image:construction_image_point.png


Construction d'un rayon réfléchi

$$B_\infty\rightarrow A_\infty\xrightarrow{stigmatisme} F'\xrightarrow{aplanetisme} B'$$

On fait comme si le rayon parvenait d'un point à l'infini en dehors de l'axe; le rayon parallèle passant par C (provenant aussi de $B_\infty$) coupe le plan focal en B' conjugué de $B_\infty$;

Tous les rayons issus de $B_\infty$ convergent en B' après réflexion (stigmatisme), le rayon est donc réfléchi en passant par B'.

Image:construction_rayon_reflechi.png


Relations de conjugaison et grandissement

Image:relation_conjugaison2.png

Dans les triangles ABS et A'B'S :

$$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{SA}}=-\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{SA'}}$$


Dans les triangles ABC et A'B'C :

$$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CA}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{CA'}}$$


Dans les triangles ABF et SJF :

$$-\dfrac{\overline{AB}}{\overline{FA}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{SF}}$$


Dans les triangles A'B'F et SIF :

$$-\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{FA'}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{SF}}$$


On en déduit

  • la relation de conjugaison avec origine au sommet ou encore formule de Descartes (déjà vu) :

$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{SA}}+\dfrac{1}{\overline{SA'}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}}$$

  • la relation de conjugaison avec origine au centre :

$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{CA}}+\dfrac{1}{\overline{CA'}}=\dfrac{2}{\overline{CS}}}$$

  • la relation de conjugaison avec origine aux foyers ou encore formule de Newton :

$$\boxed{\overline{FA}\,.\,\overline{FA'}=\overline{SF}^2=f^2=\dfrac{\overline{SC}^2}{4}}$$

  • le grandissement :

$$\boxed{\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=-\dfrac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}=\dfrac{\overline{CA'}}{\overline{CA}}=-\dfrac{\overline{SF}}{\overline{FA}}=-\dfrac{\overline{FA'}}{\overline{SF}}}$$



Le miroir plan (vu comme un limite du miroir sphérique)

$\overline{SC}\to\infty\Rightarrow V=0$, le miroir plan est afocal

$$\dfrac{1}{\overline{SA}}+\dfrac{1}{\overline{SA'}}=0\Rightarrow \overline{SA'}=-\overline{SA}\ et\ \gamma=+1$$



--DamienDecout 23 décembre 2007 à 07:53 (CET)

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