Lentilles minces

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Sommaire

Définition

Image:lentille.png

La lentille mince est constituée de deux dioptres sphériques qui vérifient :

  • $$e=S_1S_2\ll C_1S_1$$
  • $$e\ll C_2S_2$$
  • $$e\ll C_1C_2$$

alors $S_1\simeq S_2\simeq O$ appelé centre de la lentille.



Lentille mince convergente ou divergente

  • Lentille mince convergente :

Image:lentille_convergente.png

  • Lentille mince divergente :

Image:lentille_divergente.png



Stigmatisme approché dans les conditions de Gauss - Vergence

Expériences et simulations permettent de conclure que la lentille sphérique vérifie le stigmatisme dans les conditions de Gauss.


L'image d'un point est un point ? oui si les rayons sont proches de l'axe et peu inclinés par rapport à l'axe :

$$A\xrightarrow{lentille\ mince} A'$$


La relation de conjugaison donne alors la relation entre la position de A et de son conjugué A' :

$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=V}$$

en fonction de la vergence :

  • V>0 pour une lentille mince convergente et
  • V<0$ pour une lentille mince divergente.



Points particulier - Distance focale

Les rayons passant par le centre O ne sont pas déviés (on considère qu'au voisinage de O, on a une lame à faces parallèles).


  • $$A_\infty\xrightarrow{lentille\ mince} F'$$

F' est le foyer image de la lentille tel que

$$\overline{OF'}=\dfrac{1}{V}=f'$$

f ' est la distance focale image de la lentille.


  • $$F\xrightarrow{lentille\ mince} A_\infty'$$

F est le foyer objet de la lentille tel que

$$\overline{OF}=-\dfrac{1}{V}=f$$

f est la distance focale objet de la lentille.


Les foyers objet et image sont donc symétriques par rapport à O.



Aplanétisme approché dans les conditions de Gauss - Plans focaux

Expériences et simulations permettent de conclure que la lentille sphérique vérifie l'aplanétisme dans les conditions de Gauss.


Si

$$A_\infty\xrightarrow{lentille\ mince} F'$$

alors

$$B_\infty\xrightarrow{lentille\ mince} B'$$

B' appartenant au plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par F', plan appelé plan focal image.


De même le conjugué de $B_\infty'$ appartient au plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par F, plan appelé plan focal objet.



Modélisation de la lentille mince et constructions géométriques

Modélisation

Cette modélisation concerne la lentille mince utilisée dans les conditions de Gauss.

On dilate les schémas perpendiculairement à l'axe optique.

  • Lentille mince convergente :

Image:modelisation_lentille_conve.png

  • Lentille mince divergente :

Image:modelisation_lentille_diver.png

Attention, les lois de la réfraction ne sont plus vérifiées sur le schéma !



Construction de l'image A' d'un point A sur l'axe

$$A\rightarrow B\xrightarrow{stigmatisme} B'\xrightarrow{aplanetisme} A'$$

L'image d'un point étant un point, deux rayons suffisent pour trouver B' à choisir parmi les 3 rayons remarquables suivants :

  • Le rayon parallèle à l'axe (issu d'un point à l'infini sur l'axe) et passant par B est transmis en passant par F';
  • le rayon passant par B et par F est transmis parallèlement à l'axe;
  • le rayon passant par B et par O n'est pas dévié.

Image:lentille_construc_image_poi.png


Construction d'un rayon transmis

$$B_\infty\rightarrow A_\infty\xrightarrow{stigmatisme} F'\xrightarrow{aplanetisme} B'$$

On fait comme si le rayon parvenait d'un point à l'infini en dehors de l'axe; le rayon parallèle passant par O (provenant aussi de $B_\infty$) coupe le plan focal en B' conjugué de $B_\infty$.

Tous les rayons issus de $B_\infty$ convergent en B' après transmission (stigmatisme), le rayon est donc transmis en passant par B'.

Image:construction_rayon_transmis.png


Relations de conjugaison et grandissement

Dans les triangles ABO et A'B'O :

$$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{OA}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{OA'}}$$

Dans les triangles ABF et OJF :

$$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{FA}}=-\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{OF}}$$

Dans les triangles A'B'F' et OIF' :

$$\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{F'A'}}=-\dfrac{\overline{AB}}{\overline{OF'}}$$


On en déduit

  • la relation de conjugaison avec origine au centre ou encore formule de Descartes (déjà vu)

$$\boxed{\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{\overline{OF'}}}$$


  • la relation de conjugaison avec origine aux foyers ou encore formule de Newton

$$\boxed{\overline{FA}\,.\,\overline{F'A'}=\overline{OF}\,.\,\overline{OF'}=-f'^2}$$


  • le grandissement

$$\boxed{\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=-\dfrac{\overline{OF}}{\overline{FA}}=-\dfrac{\overline{F'A'}}{\overline{OF'}}}$$



--DamienDecout 23 décembre 2007 à 07:11 (CET)

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