Chute libre avec frottement

Un article de Wiki SILLAGES.

Chute libre avec frottement proportionnel à la vitesse

Il faut rajouter au problème de la chute libre la force $-k\vec{v}$ :

$\left\lbrace \begin{array}{l} a_x=-\dfrac{k}{m}v_x=\dfrac{dv_x}{dt}\\ a_z=-g-\dfrac{k}{m}v_z=\dfrac{dv_z}{dt} \end{array} \right.$

On pose $\lambda=\dfrac{k}{m}$ et on intègre (pour $v_z$ changement de variable $u=g+\lambda v_z$ ) :

$\left\lbrace \begin{array}{l} \dfrac{dv_x}{v_x}=-\lambda dt\\ \dfrac{\lambda dv_z}{g+\lambda v_z}=-\lambda dt \end{array} \right. \left\lbrace \begin{array}{l} \ln\left(\dfrac{v_x}{v_0\cos\alpha}\right)=-\lambda(t-0)\\ \ln\left(\dfrac{g+\lambda v_z}{g+\lambda v_0\sin\alpha}\right)=-\lambda(t-0) \end{array} \right.$

$\left\lbrace \begin{array}{l} v_x=(v_0\cos\alpha)\exp(-\lambda t)\\ v_z=(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda} \end{array} \right.$

Pour $v_z$ on aurait pu résoudre l'équation différentielle avec second membre :

$\dfrac{dv_z}{dt}+\lambda v_z=-g$

dont la solution est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (équation homogène) et de la solution particulière de l'équation avec second membre :

$v_z=C\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda}$

On utilise les conditions initiales (sur la somme solution générale de l'équation sans second membre + solution particulière de l'équation avec second membre) :

$v_z(t=0)=C-\dfrac{g}{\lambda}=v_0\sin\alpha$

et on retrouve le même résultat.

On intègre une deuxième fois pour trouver $x$ et $z$ :

$\left\lbrace \begin{array}{l} x=-\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}\exp(-\lambda t)+A\\ z=-\dfrac{(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)}{\lambda}\exp(-\lambda t)-\dfrac{g}{\lambda}t+B \end{array} \right.$

Avec les conditions initiales $x=0$ et $z=0$ , on a finalement :

$\left\lbrace \begin{array}{l} x=\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}(1-\exp(-\lambda t))\\ z=\dfrac{(\dfrac{g}{\lambda}+v_0\sin\alpha)}{\lambda}(1-\exp(-\lambda t))-\dfrac{g}{\lambda}t \end{array} \right.$

Lorsque $t\to\infty$ :

$\left\lbrace \begin{array}{l} x\to\dfrac{v_0\cos\alpha}{\lambda}\quad \mathrm{(assymptote)}\\ z\to-\infty \end{array} \right.\quad\ \mathrm{et}\quad \left\lbrace \begin{array}{l} v_x\to 0\\ v_z\to-\dfrac{g}{\lambda}=-\dfrac{mg}{k}=v_{lim} \end{array} \right.$

Pour que la vitesse limite soit atteinte, il ne faut pas que le projectile atteigne trop vite le sol.

La vitesse limite est en fait la solution particulière de l'équation :

$m\dfrac{d\vec{v}}{dt}+k\vec{v}=m\vec{g}$

En effet lorsque la vitesse limite est atteinte :

$\dfrac{d\vec{v}}{dt}=0$

$\vec{v}_{lim}=\dfrac{m\vec{g}}{k}$

Chute libre avec frottement proportionnel au carré de la vitesse

Il faut rajouter au problème de la chute libre la force $-kv\vec{v}$ :

$\left\lbrace \begin{array}{l} m\dfrac{dv_x}{dt}=-k\sqrt{v_x^2+v_z^2}\,v_x\\ m\dfrac{dv_z}{dt}=-mg-k\sqrt{v_x^2+v_z^2}\,v_z \end{array} \right.$

Ce système d'équations différentielles couplées n'admet pas de solution analytique (résolution numérique) sauf dans le cas particulier du mouvement vertical :

$m\dfrac{dv_z}{dt}=-mg-k\sqrt{v_z^2}\,v_z$